问题描述

字符串匹配问题可以归纳为如下的问题：
在长度为n的文本T[1…n]中，查找一个长度为m的模式P[1…m]。并且假设T，P中的元素都来自一个有限字母集合Ʃ。如果存在位移s，其中0≤s≤n-m，使得T[s+1…s+m] = P[1…m]。则可以认为模式P在T中出现过。

1. 朴素算法

最简单的字符串匹配算法是朴素算法。该算法最直观，通过遍历文本T,对每一个可能的位移s都比较T[s+1…s+m]于P[1…m]是否匹配。

代码实现

代码用python写的：

def naive_string_match(T, P):
    n = len(T)
    m = len(P)

    for s in range(0, n-m+1):
        k = 0
        for i in range(0, m):
            if T[s+i] != P[i]:
                 break
            else:
                k += 1
        if k == m:
            print s

算法分析

最坏情况下，对每一个s都需要做m次（模式P的长度为m）的比较。则算法的上届是O((n-m+1)*m)。到后面我们会看到朴素算法之所以慢，是因为它只是关心有效的位移，而忽略其它无效的位移。当一次位移s被验证是无效的之后，它只是向右位移1位，然后从头开始继续下一次的比较。这样做完全没有利用到之前已经匹配的信息，而这些信息有时候会很有用。

2. Rabin-Karp算法

对朴素算法的一个简单的改进就是Rabin-Karp算法。Rabin-Karp算法的思路是将字符串的比较转换成数字的比较。比较两个长度为m的字符串是否相等需要O(m)的时间，而比较两个数字是否相等通常可以是Ɵ(1)。

为了将字符串映射到对应的数字，我们需要用到哈希函数。我们都知道开放寻址法的哈希函数(open addressing)是可能遇到冲突的。对于这个问题来说冲突意味着虽然两个字符串的哈希值是一样的，但是这两个字符串实际上是不一样的。

解决的办法是当遇到哈希值相同时，再做m次(模式P的长度为m)遍历，近一步判断这两个字符串是否相等。既是说，哈希值是第一步地判断，如果两个字符串不相等那么他们的哈希值也肯定不相等。通过第一步的筛选后，再做近一步更可靠的筛选。

运气好的话，大部分不匹配的字符串会在第一步(通过哈希值)被筛选掉，仅留有少量的字符串需要近一步的审查。

代码实现

继续附上Python代码：

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def rabin_karp_matcher(T, P):
    n = len(T)
    m = len(P)
    h1 = hash(P)
    for s in range(0, n-m+1):
        h2 = hash(T[s:s+m])
        if h1 != h2:
            continue
        else:
            k = 0
            for i in range(0, m):
                if T[s+i] != P[i]:
                    break
                else:
                    k += 1
            if k == m:
                print s

算法分析

从代码上来看Rabin-Karp算法与朴素算法十分近似，最坏情况下，每一个哈希值都冲突，而且对每个冲突都进行了m次的比较。在这种情况下，该算法的时间复杂度与朴素算法相同，如果算上哈希算法的开销，时间复杂度还要高出朴素算法（通常一个字符串进行哈希的算法的时间复杂度是Ɵ(1)）。

当然这是最坏情况下的分析，对于平均情况下Rabin-Karp算法的效果要好得多。根据数学推断，Rabin-Karp算法的平均情况下的时间复杂度是O(n+m)。

详细分析

以下这一段分析Rabin-Karp的平均复杂度。如果不关心O(n+m)具体是如何得来的可以跳过这一段。
我们称两个字符串哈希值相同为一次命中，如果这两个字符串实际上是不同的则这次命中是一个伪命中。我们期望伪命中的次数要少一些，因为越少的伪命中意味着算法的效率越高。伪命中问题实际上是哈希算法的冲突问题，因此具体冲突的次数与具体的哈希算法相关。

算法导论中给出的哈希算法是：

t[s+1] = (d * (t[s]-T[s+1]) * h) + T[s+m+1]) mod q

该算法是将字符串的每一个位的字符转换成对应的数字，再根据一定的权重相乘得到一个数值，最后对q取模映射到[0, q-1]空间的一个值。有n个数字待映射到[0, q-1]这q个值中。如果一个哈希函数把一个数字随机地映射到q个数中的任意一个，理论上来说冲突的个数O(n/q)。假设正确命中的个数是v，由前面讨论伪命中的个数是n/q。那么Rabin-Karp算法的期望运行时间是：O(n)+O(m(v+n/q))。如果有效命中v=O(1)并且q≥n，那么Rabin-Karp算法的时间复杂度是O(n+m)。

Rabin-Karp算法优势

Rabin-Karp算法的优势是可以多维度或者多模式的匹配字符串。以多模式匹配为例，如果你需要在文本T中找出模式集合P=[P1, P2, …Pk]中所有出现的模式。对于这个问题，Rabin-Karp算法的威力就能发挥出来了，Rabin-Karp算法能通过简单地扩展便能够支持多模式的匹配。

3. 利用有限状态自动机进行字符串匹配

有限状态自动机是一个处理信息的机器，通过对文本T进行扫描，找出模式P的所有出现的位置。在建立有限状态自动机后只需要对T一次扫描便可以完成所有匹配工作（即匹配时间是O(n)）。

但是如果字符集Ʃ很大时，建立自动机的时间消费很大，这是这种方法的缺点。虽然一开始可能会被这个有限状态自动机的名字吓到（我就是这样），因为看上去好像很高大上，但相信我，当你细看之后会发现并没有想象的那么难。

有限状态自动机定义

先给出定义，有限状态自动机M是一个5元组（Q，q0，A，Ʃ，δ），其中：

• Q是状态集合。
• q0属于集合Q，q0是初始状态。
• A是可接收的状态集合(A是Q的子集合)。
• Ʃ是字符集。
• δ是一个Q×Ʃ到Q的函数，称为状态转移函数。

有限状态自动机算法工作流程

对应到我们的字符串匹配问题中，有限状态自动机的工作流程如下：开始于状态q0，每次读入输入字符串的一个字符a，则它状态从q变为状态δ（q，a）。

每当其当前q> 属于A时，自动机M就接受起劲为止所读入的所有字符串。

构造自动机

为了能构造一个字符串配对的自动机，我们还需要4个定义，以方便我们后续的表达和计算。

• 定义1：对于模式P，Pq表示P的前q个字符组成的子串。
• 定义2：字符串P的前缀是{ Pi | 0≤i≤P.length }。例如“ababa”的前缀为 { “a”，”ab”，”aba”，”abab”，”ababa” }。字符串后缀定义与前缀的定义相似。
• 定义3：设前缀函数ơ(x)是x的后缀中在模式P中的最长前缀的个数。例如P=ab， 则ơ(ccaca)=1，ơ(ccab)=2。
• 定义4：字符串A、B，则AB意味着字符串A与B的链接。例如A=“aba”， B=”c”，则AB=”abac”。

好了，有了上述的定义我们就可以得到我们的字符串匹配自动机的定义。（又是定义，掩面偷笑）根据给定的字符串模式P[1…m]，其字符串匹配自动机的定义如下：

状态集合Q={0,1,2…,m}。其中q0是状态0，状态m是唯一被接受的状态。对任意的状态q和字符a，转移函数δ（q，a）=ơ（Pqa）（注意：这里Pqa表示字符串Pq和字符串a的链接）。

来看一个例子，上图是模式P=“ababaca”的字符串匹配自动机。可以的话根据状态转移函数自己推一下上面的表，这样会对自动机方法理解得更好。

自动机算法原理

通过状态转移函数，可以理解了有限自动机比朴素算法快在哪了。对于朴素算法，若字符不匹配则直接右移一位开始下一轮的m（模式P）个字符的比较。但是对于有限> 自动机来说，如果当前的字符不匹配（不能理想地进入下一个状态），自动机将根据转移函数δ回滚到之前已经匹配的某一个状态。

这样的话即使字符不匹配也利用到了之前已经匹配的字符信息。例如对于上述的模式P=“ababaca”，如果已经有一个位移匹配到了前5个字符”ababa”，当下一个读入的字符是“c”则顺利地进入状态6。如果读入的字符是“b”，虽然不匹配（不是理想的“c”）但是根据状态转移函数我们只需回退到状态4。

因为此时虽然不能凑齐6个字符匹配成功，但是我们任然能够凑齐4个字符匹配成功（“abab”）。如果读入的字符是”a”的话，那只能回退到状态1，既是只有1个字符匹配成功（“a”）。

代码实现

知道了如何计算状态转移函数（实际上就是知道如何根据一个字符串构造它的有限状态自动机），然后就可以通过扫描T找出所有匹配P的字符串了。具体看代码：

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####根据状态转移函数ơ扫描T匹配字符串：
def finite_auto_matcher(T, f, m):
    n = len(T)
    q = 0
    for i in range(0, n):
        q = f[(q, T[i])]
        if q == m:
             print i+1-m

####构造状态转义函数：
def compute_transition_function(P, charSet):
    f = dict()
    m = len(P)
    for q in range(0, m):
        for a in charSet:
            k = min(m, q+1)
            while not ispostfix(P[:q]+a, P[:k]):
                k -= 1
                f[(q, a)] = k
    for a in charSet:
        f[(m, a)] = 0
    return f

def ispostfix(s1, s2):
    n = len(s1)
    m = len(s2)
    for i in range(0, m):
        if s1[n-1-i] != s2[m-1-i]:
            return False
        else:
            return True

算法实现复杂度

构造状态转义函数的时间复杂度是O（m^3 * | Ʃ |）。第14行循环m次，第15行循环| Ʃ |次，第18行最多执行m+1次，第17行的ispostfix函数最多m次比较。因此总共是m * m * m * | Ʃ | 。还有更好的算法可以使计算转移函数的时间降到O（m * | Ʃ |），因此对于有限自动机总的时间复杂度为O（n + m * | Ʃ |）。

4. kmp算法

相比于有限状态自动机，Kmp算法的优势在于它只需要O(m)的与处理时间，而有限状态自动机最快也需要O(m * | Ʃ |)。Kmp算法的主要思路跟字符串自动机很像，在预处理阶段建立一个前缀函数，然后顺序扫描文本T，即可找出所有与模式P相匹配的字符串。

前缀函数与字符串自动机中的转移函数功能相同，都是当遇到匹配失败时能根据前缀函数（或者转移函数），利用之前匹配的信息，能够找出下一个应该匹配的位置，避免类似朴素算法做过多的无用功。

图片来自《算法导论》。看图（a），文本T和模式P一直匹配成功前5个字符，但是第6个字符不匹配。但观察可以发现此时已经匹配的5个字符中的后三个是模式P的前三个字符，因此我们可以退而求其次地将已经匹配的字符数减少一点，看能否匹配新的字符。

如图（b），此时比较新的字符是否匹配P的第四个字符，这样的比较实际上是把P左移了2位。这个2是这样得来的，原来已经匹配了5位，这5位的后缀中在P的最长前缀（“aba”）的长度是3，5-3=2由此得出应该左移2位。

代码实现

我们先假设已经能够得到前缀函数，即是说先不去管前缀函数是如何计算出的。那当我们已经有方法得到前缀函数后，如何匹配模式P？看下面这段python代码，注意为了方便理解，我在字符串T、P前面都加上了一个空格字符，效果是模拟字符串下标从1开始而不是从0开始。

def kmp_matcher(T, P):
    T = ' ' + T
    P = ' ' + P
    n = len(T) - 1
    m = len(P) - 1
    t = KMP.longest_prefix_suffix(P)
    q = 0
    for i in range(1, n+1):
        while q > 0 and P[q+1] != T[i]:
            q = t[q]
            if P[q+1] == T[i]:
                q += 1
            if q == m:
                print i-m+1
                q = 0

代码分析

第6行调用函数longest_prefix_suffix，计算出模式P的前缀函数。第8行开始顺序扫描文本T，注意变量q记录此刻与模式P成功匹配的字符的个数。当下一个字符匹配失败时（P[q+1]!=T[i]），q的值根据前缀函数重新计算出，如9、10两行代码。

当匹配成功时q的值只需简单加1。最后13行，当q的值（已经匹配的字符数）与模式P的长度相等时，我们便找到了一个匹配的字符串。

是时候来到最难理解的部分了（至少是我认为是最难理解的部分），计算前缀函数。其实如果不嫌慢的话可以暴力解法，但是时间复杂度是O(m^3)，太差了。而书本给出的算法是O(m)，对比产生美！

首先再说一下前缀函数的意思，前缀函数t[q]的物理意义是模式P的子串P[1…q]的后缀字符串中，是模式P的最大前缀的长度。

def longest_prefix_suffix(P):
    if P[0] != ' ':
        P = ' ' + P
    m = len(P) - 1
    t = [0] * (m+1)
    k = 0
    match = 0
    for q in range(2, m+1):
    while k > 0 and P[k+1] != P[q]:
        k = t[k]
    if P[k+1] == P[q]:
        k += 1
    t[q] = k
    return t

一些理解

从代码上来看，计算前缀函数和匹配很相似，其实可以把计算前缀函数看作是和自己匹配的过程（书上这么说）。还是一样，为了数组下标从1开始，我把字符串下标0> 的位置放了一个空格。这段代码中变量k记录着当前匹配成功的字符的个数。11、12行代码是好理解的，当下一个字符匹配成功时，简单地把k加1。13行说的是，最后只需在下标为q的位置记录者子串P[1…q]的最长前缀数（k的值）。
对我来说，最难的部分在于理解9、10两行的代码，为什么当不匹配时只需不断的迭代（循环k = t[k]），便能找到适合的k值？

首先，发现对k不断地迭代（即k = t[k]），k的值会越来越小。回忆一下前缀函数的定义，t[q]表示P[1…q]的后缀，同时也是P的前缀的最大长度，所以其值显然要比q小。

所以有不等式：k > t[k] > t[t[k]] > …

《算法导论》中有句话，通过对前缀函数的不断进行迭代，就能列举出P[1…q]的真后缀中的所有前缀P[1…k]。如果真如其所说的话，那么9、10两行代码就好理解了，当匹配失败时，从大至小地列举出其所有前缀，找到一个能使下一个字符匹配成功的前缀即可。而从大到小地列举出所有前缀只需要循环地迭代其前缀函数即可。因为我们已经得知前了，(1)缀函数不断迭代其值越来越小，(2)而且如书所说可以通过迭代来列举出所有可能的前缀。

好了，现在我们知道还剩哪里不懂了。就是为什么不断地迭代前缀函数能够列举出所有可能的前缀？现在整个KMP就只剩下这一部分的问题了，如果你不关心为什么你可以只是简单的记住这个结论。但是如果你想要具体了解为什么会得出这个结论，那你还得接着往下看，我们可以通过数学证明这个结论！